L'infini (partie 1) : Qu'est ce que c'est?

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L'infini (partie 1) : Qu'est ce que c'est?

Message par Invité le Dim 1 Fév 2009 - 19:48

J'explique dans ce sujet la notion d'infini.
Je ferais en sorte que tout le monde puisse suivre mes explications, sans nécessairement avoir des connaissances en mathématiques.
Mettons-nous d'accord sur les bases:
Admettons déjà que l'adjectif infini s'applique sur... des ensembles.
Un ensemble est en gros une collection d'objet.
Par exemple, {1, 3, 4} est l'ensemble qui contient les nombres 1, 3 et 4 (1, 3 et 4 sont donc les éléments de cet ensemble).
Un ensemble peut également contenir d'autres ensembles en tant qu'éléments, par exemple l'ensemble {{2, 3}, {4, 7}}.
Un ensemble peut aussi ne contenir aucun élément, on l'appelle l'ensemble vide et je le noterai {}.

Maintenant apprenons ce qu'est faire correspondre 2 ensembles.
C'est tout simplement faire correspondre chaque élément du premier ensemble au deuxième, de sorte que l'on ne peut faire correspondre deux ensembles que s'ils sont de même taille. Faire correspondre deux ensembles s'appelle procéder à une bijection en mathématiques.
Vous savez sûrement ce qu'est l'ensemble des entiers naturels: 0, 1, 2, 3, 4...etc. Donc 0 et tous les nombres entiers positif.
Un ensemble a n éléments si on peut établir un bijection entre cet ensemble et l'ensemble des entiers naturels de 1 à n.
Par exemple, {{2, 3}, {4, 7}} comporte 2 éléments car il peut être mis en bijection avec l'ensemble {1, 2}
Alors qu'est-ce qu'un ensemble infini?
Un ensemble est infini s'il n'existe aucun entier naturel n tel que l'ensemble a n éléments.




C'est qui est souvent étonnant, c'est qu'un ensemble infini peut-être mis en bijection avec un de ses sous-ensembles. Oups! Je n'ai pas encore expliqué ce qu'est un sous-ensemble.
Un ensemble A est sous-ensemble de B si et seulement si tous les éléments de A sont aussi éléments de B. Par exemple, {1, 3, 4} est un sous-ensemble de {1, 2, 3, 4, 6, 9}. De même que {{2, 3}, {4, 7}} est un sous-ensemble de {{5, 9}, {2, 3}, {4, 7}}.

Je disais donc, un ensemble infini peut être mis en bijection avec un de ses sous-ensembles! Par exemple, l'ensemble des entiers naturels peut-être mis en bijection avec l'ensemble des carrés des nombres positifs! En associant 1 à 1, 2 à 4, 3 à 9, etc...
C'est donc la preuve qu'un ensemble n'est pas toujours plus grand qu'un de ses sous-ensembles.

On dira donc qu'un ensemble A est plus petit que B si (1) A peut-être mis en bijection avec un sous-ensemble de B et (2) A ne peut pas être mis en bijection avec B tout entier.

La question qui se pose est: y a-t-il des infinis de différente taille?
Réponse dans la partie 2...

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