infini linéaire

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infini linéaire

Message par Jkl38 le Lun 13 Aoû 2012 - 1:22

Bonjour,
Voici une question basique concernant la linéarité de l'infini .
Pour moi il s'agit d'un paradoxe et peut-être le seul vrai concernant l'infini .
Soit un ensemble infini de nombres finis (1,2,3,4,5,6, ....) en imaginant cet ensemble achevé (comme on fait en maths avec le passage à la limite ) :
peut-on dire qu'il y a un nombre infini de nombres à droite qui se trouvent à une distance finie du nombre 1 (par ex.) c'est à dire séparé de 1 par un nombre toujours fini de nombres , d'éléments ?
Je ne vois pas comment ce pourrait être autre .
Notez qu'ici je ne parle pas d'un indéfini mais bien d'un infini complet , achevé (comme l'est alpeh zéro en math).
A vous .

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Re: infini linéaire

Message par Résistons le Lun 13 Aoû 2012 - 1:34

Le paradoxe n'en est pas vraiment un si on reste dans les infinis achevés!

Le nombre infini de nombre à droite se trouvant à distance finie est lui aussi un ensemble de combinaisons de l'ensemble de départ!

Et par suite, par un jeu d'écriture, en passant au cardinal des ensembles, définis par l'hypothése de départ, on défini aussi le cardinal d'arrivée, montrant que l'ensemble étudié est toujours dans les "bornes" de l'infini achevé!
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Re: infini linéaire

Message par JO le Lun 13 Aoû 2012 - 9:30

oui ? et le paranormal, là-dedans ?
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Re: infini linéaire

Message par Résistons le Lun 13 Aoû 2012 - 9:58

Oups! Petite précision que j'ai oubliée mais qui est indispensable!

Le schéma que je propose n'est valable que parce que l'infini achevé que tu proposes est dénombrable! Car il est possible de décrire une bijection entre les deux espaces!

Sinon, effectivement on peut arriver à un paradoxe (mais pas forcément : on peut toujours trouver une bijection) si on considère un espace infini achevé, non dénombrable!
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Re: infini linéaire

Message par Résistons le Lun 13 Aoû 2012 - 12:24

edit : il faut lire, bien sûr :

(mais pas forcément : on peut parfois trouver une bijection)
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Re: infini linéaire

Message par Nailsmith le Lun 13 Aoû 2012 - 14:17

JKL38 a écrit:Bonjour,
Voici une question basique concernant la linéarité de l'infini .
Pour moi il s'agit d'un paradoxe et peut-être le seul vrai concernant l'infini .
Soit un ensemble infini de nombres finis (1,2,3,4,5,6, ....) en imaginant cet ensemble achevé (comme on fait en maths avec le passage à la limite ) :
peut-on dire qu'il y a un nombre infini de nombres à droite qui se trouvent à une distance finie du nombre 1 (par ex.) c'est à dire séparé de 1 par un nombre toujours fini de nombres , d'éléments ? sourire
Je ne vois pas comment ce pourrait être autre .
Notez qu'ici je ne parle pas d'un indéfini mais bien d'un infini complet , achevé (comme l'est alpeh zéro en math).
A vous .
Est-ce que l'infini de nombre fini s'applique à la valeur Pie. Un nombre infini de chiffres finis après la virgule?
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Re: infini linéaire

Message par Résistons le Lun 13 Aoû 2012 - 14:29

Nailsmith a écrit:
JKL38 a écrit:Bonjour,
Voici une question basique concernant la linéarité de l'infini .
Pour moi il s'agit d'un paradoxe et peut-être le seul vrai concernant l'infini .
Soit un ensemble infini de nombres finis (1,2,3,4,5,6, ....) en imaginant cet ensemble achevé (comme on fait en maths avec le passage à la limite ) :
peut-on dire qu'il y a un nombre infini de nombres à droite qui se trouvent à une distance finie du nombre 1 (par ex.) c'est à dire séparé de 1 par un nombre toujours fini de nombres , d'éléments ? sourire
Je ne vois pas comment ce pourrait être autre .
Notez qu'ici je ne parle pas d'un indéfini mais bien d'un infini complet , achevé (comme l'est alpeh zéro en math).
A vous .
Est-ce que l'infini de nombre fini s'applique à la valeur Pie. Un nombre infini de chiffres finis après la virgule?

Non!

Car, à la différence de ce que pointait JKL38, cad un ensemble dénombrable, les décimales de Pi, elles sont un ensemble transcendant, qui émergent d'un ensemble fini {1,2,...9,0}
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Re: infini linéaire

Message par Jkl38 le Lun 13 Aoû 2012 - 16:17

Merci Résistons pour ta réponse .
Donc d'aprés toi à la question :
peut-on dire qu'il y a un nombre infini de nombres à droite qui se trouvent à une distance finie du nombre 1 (par ex.) c'est à dire séparé de 1 par un nombre toujours fini de nombres , d'éléments ?

Ta réponse est : oui . C'est bien cela ?

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Re: infini linéaire

Message par Résistons le Lun 13 Aoû 2012 - 16:21

JKL38 a écrit:Merci Résistons pour ta réponse .
Donc d'aprés toi à la question :
peut-on dire qu'il y a un nombre infini de nombres à droite qui se trouvent à une distance finie du nombre 1 (par ex.) c'est à dire séparé de 1 par un nombre toujours fini de nombres , d'éléments ?

Ta réponse est : oui . C'est bien cela ?

Si j'ai bien compris ce que tu entendais par là (ce qui reste à vérifier), j'ai tendance, par construction de l'ensemble, à dire oui!
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Re: infini linéaire

Message par Jkl38 le Lun 13 Aoû 2012 - 17:19


Résistons a écrit: Si j'ai bien compris ce que tu entendais par là (ce qui reste à vérifier), j'ai tendance, par construction de l'ensemble, à dire oui!

Au départ tu as dit que ce n'était pas vraiment un paradoxe et pourtant là en disant "j'ai tendance" tu as l'air moins sûr .
Je ne vois non plus ce que tu as à vérifier puisque je parle d'une chose de base qui n'est même pas réellement mathématique : ensemble infini (1,2,3,4,...) . C'est donc la plus simple des choses .




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Re: infini linéaire

Message par Résistons le Lun 13 Aoû 2012 - 17:32

JKL38 a écrit:
Résistons a écrit: Si j'ai bien compris ce que tu entendais par là (ce qui reste à vérifier), j'ai tendance, par construction de l'ensemble, à dire oui!

Au départ tu as dit que ce n'était pas vraiment un paradoxe et pourtant là en disant "j'ai tendance" tu as l'air moins sûr .
Je ne vois non plus ce que tu as à vérifier puisque je parle d'une chose de base qui n'est même pas réellement mathématique : ensemble infini (1,2,3,4,...) . C'est donc la plus simple des choses .




Oui, si tu vois un paradoxe, c'est qu'il doit y en avoir peut-être un, mais que je ne vois pas! D'ou peut-être je loupe quelque chose!

Mais, comme je le disais dans ma première réflexion, oui l'ensemble construit est effectivement infini, mais comme je ne vois pas en quoi cela forme un paradoxe, je me suis dit que peut-être je ne le construisais pas de la bonne façon, d'où ma prudence!

Mais sinon, oui clairement l'ensemble des distances à 1 des éléments de l'ensemble de départ est effectivement un ensemble infini achevé!
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Re: infini linéaire

Message par zizanie le Lun 13 Aoû 2012 - 17:45

Le paradoxe est peut-être simplement dans l'énoncé?
JKL38 a écrit:
peut-on dire qu'il y a un nombre infini de nombres à droite qui se trouvent à une distance finie du nombre 1 (par ex.) c'est à dire séparé de 1 par un nombre toujours fini de nombres , d'éléments ?
.
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Re: infini linéaire

Message par Résistons le Lun 13 Aoû 2012 - 17:49

zizanie a écrit:Le paradoxe est peut-être simplement dans l'énoncé?
JKL38 a écrit:
peut-on dire qu'il y a un nombre infini de nombres à droite qui se trouvent à une distance finie du nombre 1 (par ex.) c'est à dire séparé de 1 par un nombre toujours fini de nombres , d'éléments ?
.

Je ne pense pas.

Si tu prends la construction des ensembles suivants :

{1}
{1,2}
{1,2,3}
...
{1,2,3,...,N}
...

On trouve bien un nombre infini d'ensemble finis...
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Re: infini linéaire

Message par cana le Lun 13 Aoû 2012 - 17:59

une sphére est elle un infini d'ensemble finis... .

(pas tapez :)
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Re: infini linéaire

Message par Résistons le Lun 13 Aoû 2012 - 18:00

cana a écrit:une sphére est elle un infini d'ensemble finis... .

(pas tapez :)

Non mais on pourrait la considérer comme un objet mathématique de longueur infinie mais de volume fini! :) Même si ce n'est pas le cas mathématiquement, notre perception peut être telle comme un ruban de Moebius.

Mais il existe des construction de surface infinie et de volume fini, un peu comme la trompette de Gabriel.

Le flocon de Koch est un autre exemple!


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Re: infini linéaire

Message par zizanie le Lun 13 Aoû 2012 - 18:06

Résistons a écrit:
zizanie a écrit:Le paradoxe est peut-être simplement dans l'énoncé?
JKL38 a écrit:
peut-on dire qu'il y a un nombre infini de nombres à droite qui se trouvent à une distance finie du nombre 1 (par ex.) c'est à dire séparé de 1 par un nombre toujours fini de nombres , d'éléments ?
.

Je ne pense pas.

Si tu prends la construction des ensembles suivants :

{1}
{1,2}
{1,2,3}
...
{1,2,3,...,N}
...

On trouve bien un nombre infini d'ensemble finis...
Vers quelle valeur finie tend N lorsque le nombre d'ensembles tend vers l'infini?
Le nombre d'éléments du plus grand ensemble fini n'est-il pas égal au nombre des ensembles (infini)?
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Re: infini linéaire

Message par Résistons le Lun 13 Aoû 2012 - 18:17

zizanie a écrit:
Résistons a écrit:
zizanie a écrit:Le paradoxe est peut-être simplement dans l'énoncé?
JKL38 a écrit:
peut-on dire qu'il y a un nombre infini de nombres à droite qui se trouvent à une distance finie du nombre 1 (par ex.) c'est à dire séparé de 1 par un nombre toujours fini de nombres , d'éléments ?
.

Je ne pense pas.

Si tu prends la construction des ensembles suivants :

{1}
{1,2}
{1,2,3}
...
{1,2,3,...,N}
...

On trouve bien un nombre infini d'ensemble finis...
Vers quelle valeur finie tend N lorsque le nombre d'ensembles tend vers l'infini?
Le nombre d'éléments du plus grand ensemble fini n'est-il pas égal au nombre des ensembles (infini)?


En fait, grâce à ta question, je peux maintenant concevoir le paradoxe exprimé par JKL38 maintenant.

Le paradoxe, n'en est un finalement, que si on considère (à tort) que dans un ensemble infini "achevé" , le symbole "infini" soit partie intégrante de l'ensemble, au même titre que les autres éléments.

Mais comme ces ensembles finis achevés, ne sont qu'une création d'intervalle abstrait de l'esprit mathématique, il ne faut pas oublier de se placer lors de la réflexion dans l'intervalle de définition du problème et ne pas le quitter.

Le paradoxe apparent apparaît dès lors lorsqu'on se place dans l'intervalle de définition "infini achevé" pour l'ensemble des entiers, et que l'on quitte cet intervalle pour la construction finale pour se situer dans un intervalle infini classique.

En fait par habitude je me suis placé, pour l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée, dans la même configuration, d'ou je ne pouvais voir le paradoxe!
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Re: infini linéaire

Message par Jkl38 le Lun 13 Aoû 2012 - 18:41

zizanie a écrit:
Résistons a écrit:
zizanie a écrit:Le paradoxe est peut-être simplement dans l'énoncé?
JKL38 a écrit:
peut-on dire qu'il y a un nombre infini de nombres à droite qui se trouvent à une distance finie du nombre 1 (par ex.) c'est à dire séparé de 1 par un nombre toujours fini de nombres , d'éléments ?
.

Je ne pense pas.

Si tu prends la construction des ensembles suivants :

{1}
{1,2}
{1,2,3}
...
{1,2,3,...,N}
...

On trouve bien un nombre infini d'ensemble finis...
Vers quelle valeur finie tend N lorsque le nombre d'ensembles tend vers l'infini?
Le nombre d'éléments du plus grand ensemble fini n'est-il pas égal au nombre des ensembles (infini)?


En fait tu dis ici "tend vers l'infini", zizanie, mais comme je parle d'un infini réellement achevé ça ne tend pas vers l'infini mais est bel et bien infini .

Je pense que Résistons est d'accord avec moi ,on parle ici d'un infini "simultané" .

Dans un autre forum par rapport à une question similaire on m'avait dit que je disais des choses contradictoires en disant un truc du genre "aussi loin que ce soit à l'infini ça reste fini " , cette phrase est selon moi un paradoxe mais non une contradiction .

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Re: infini linéaire

Message par zizanie le Lun 13 Aoû 2012 - 21:32

JKL38 a écrit:
En fait tu dis ici "tend vers l'infini", zizanie, mais comme je parle d'un infini réellement achevé ça ne tend pas vers l'infini mais est bel et bien infini .
Je comprends bien mais ma remarque était relative à la construction des ensembles.
Mais pour moi, il y a bijection entre chaque ensemble construit et chaque élément du plus grand ensemble.
D'où l'apparent paradoxe de l'énoncé.
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Re: infini linéaire

Message par gaston21 le Lun 13 Aoû 2012 - 21:55

Mes maths sont très très loin, puisque , comme Jo, je suis du temps des Croisades..., Mais pour moi, c'est enfoncer une porte ouverte; l'infini n'est jamais complet, jamais achevé; et on pourra toujours mettre 1 à la
suite des nombres.
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Re: infini linéaire

Message par Jkl38 le Lun 13 Aoû 2012 - 22:52

gaston21 a écrit:Mes maths sont très très loin, puisque , comme Jo, je suis du temps des Croisades..., Mais pour moi, c'est enfoncer une porte ouverte; l'infini n'est jamais complet, jamais achevé; et on pourra toujours mettre 1 à la
suite des nombres.

En maths aleph-zéro est un infini considéré comme achevé c'est à dire qu'on imagine que toute addition possible a été faite .

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Re: infini linéaire

Message par Résistons le Mar 14 Aoû 2012 - 11:01

JKL38 a écrit:

En maths aleph-zéro est un infini considéré comme achevé c'est à dire qu'on imagine que toute addition possible a été faite .

Pas tout à fait!

En fait aleph-zero (on notera aleph-0) est un cardinal!

Je m'explique.

Je pars du départ, pour que tous ceux qui n'auraient pas suivi la discussion pour l'instant puisse comprendre de quoi on parle!

Le cardinal d'un ensemble peut être considéré comme le nombre d'éléments le composant.

Par exemple, les possibilités lorsqu'on lance un dé à 6 faces peuvent être défini par un ensemble A = {1,2,3,4,5,6}. Cet ensemble est complet, dans le sens, ou en lançant ce dé de nombreuses fois, on obtiendra tous les éléments au moins une fois et on n'obtiendra jamais un élément qui n'est pas dans cet ensemble. Cet ensemble est composé de 6 éléments, et on a introduit une notion de cardinal, pour dénombrer les éléments composant l'ensemble. Ainsi, en notation mathématiques, on note Card(A) = 6 pour dire que l'ensemble a posséde 6 éléments distincts.

Cette notion est évidente pour les ensemble finis. Mais cette notion n'a pas de sens, définie comme cela, pour les ensemble infinis.

Ainsi, pour étendre cette notion aux ensembles infinis, on s'est déja attaqué au plus "simple" des ensembles infinis : N, c'est à dire l'ensemble des nombres entiers naturels. C'est effectivement un ensemble dont le cardinal n'est pas un nombre fini. On a donc inventé une notion (Ce "on" étant un mathématicien génial du nom de Cantor) de l'aleph-0, représentant le cardinal de l'ensemble des entiers naturels. on a donc card(N) = aleph-0. Par construction, aleph-0 est donc un nombre entier n'appartenant pas à N (il n'est pas naturel)!

Par définition et construction, pour tout ensemble dénombrable B, card(B) = aleph-0, car tout ensemble dénombrable est équipotent à N (il existe une bijection entre les deux ensembles). (Pour information une bijection entre un ensemble A et un ensemble B, est une application f de l'ensemble A dans B qui a tout élément de A associe un élément de B, et pour laquelle tout élément de B a un associé dans A).

Ainsi, lorsque l'on "joue" avec l'infini, on peut arriver à des conclusions étonnantes, loin d'être intuitive. Un exemple : On montre facilement que le cardinal des nombres pairs est aleph-0! C'est à dire, que l'ensemble N = {1,2,3,...,n,...} a exactement le même nombre d'élément que l'ensemble P = {2,4,6,8,...,2n, ...}, car l'application f(x) = 2x est bien une bijection de P dans N.

Voila pour aleph-0.

Mais Cantor a été plus loin. Car il y a des ensemble non-dénombrables. Par intuition, on concoit, qu'il existe donc des nombres "plus grands" que aleph-0. Je vais résumer ici, car cela fait appel à des notions de mathématiques un peu difficiles à expliciter ici, comme les ordinaux, l'axiome du choix et le théorème de Zermelo!

On notera donc aleph-1, le plus petit des nombres plus grand que aleph-0, aleph-2 le plus petit des nombres plus grand que aleph-0, etc...

Par l'hypothése du continu de Cantor, qui "affirme"* qu'il n'existe aucun ensemble dont le cardinal est strictement compris entre le cardinal de l'ensemble des entiers naturels N et celui de l'ensemble des nombres réels R, on voit trivialement que le cardinal de l'ensemble des nombres réels R, est aleph-1. Cantor montre également que aleph-1 = 2 puissance aleph-0.

Par généralisation aleph-n = 2 puissance aleph(n-1)...

Tous ces alephs, définissent des "classes d'infinis". On montre aussi, que tout ensemble infini, quel qu'il soit, posséde obligatoirement une classe aleph. Tout ceci nous montre qu'il y a une classification très "ordonnées" des infinis, et que les infinis suivent une certaine logique. Tous les infinis n'existent pas. On ne peut pas définir un nouvel infini, qui ne serait pas déjà classifié dans une des classes aleph.



* Je met "affirme" car :

1) c'est une hypothése non démontrable avec les axiomes de la théorie des ensembles
2) La conjecture de Woodin semblerait infirmer cette hypothése, mais elle est loin de faire l'unanimité chez les théoriciens.,







Dernière édition par Résistons le Mar 14 Aoû 2012 - 11:06, édité 1 fois (Raison : précisions)
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Re: infini linéaire

Message par zizanie le Mar 14 Aoû 2012 - 11:13

Merci Doc pour ce rappel sur les nombres transfinis de Cantor.
Rem: quand tu parles d'ensemble dénombrable ou non dénombrable, il faut comprendre ensemble infini dénombrable ou infini non dénombrable.
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Re: infini linéaire

Message par Résistons le Mar 14 Aoû 2012 - 11:15

zizanie a écrit:Merci Doc pour ce rappel sur les nombres transfinis de Cantor.
Rem: quand tu parles d'ensemble dénombrable ou non dénombrable, il faut comprendre ensemble infini dénombrable ou infini non dénombrable.

Effectivement! Merci de le préciser, c'est important !
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Re: infini linéaire

Message par keinlezard le Mar 14 Aoû 2012 - 11:40

hello :)

j'aime à me retrouver étudiant :) merci ...
je suis un béotien en mathématique
donc ma reflexion risque de paraitre bête :)
Dans ton exemple sur le dé ... le cardinal est de 6, il appartient
à l'ensemble ... alors j'avoue que je ne comprend pas
que Card(N) = aleph-0 n'appartienne pas a N ...

est ce un définition ou est cela a t il été démontré ?

V+

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