Ensemble infini simple

[Jkl38]

Bonjour ,

Je me pose une question simple et basique sur un simple ensemble infini d'unités : {1,1,1,1,1,.........} .

Est-ce possible de diviser ceci une infinité de fois et  avoir à chaque fois des sous ensembles infinis (contenant toujours tous une infinité d'unités) ?

Par exemple en divise   {1,1,1,1,1,.........}  par deux donnant deux parties infinies lesquelles sont divisées par deux (ou par ce qu'on veut) et ces parties seraient encore infinies  et divisibles sans fin .

Si ce n'est pas possible qu'est-ce qui empêche cela ?

Y a t-il des raisons à ça qui peuvent être décrites autrement que par des équations ?

[M'enfin]

C'est parce que le temps te semble infiniment long entre chacune de tes apparitions que tu poses la question?

[dedale]

Est-ce possible de diviser ceci une infinité de fois et  avoir à chaque fois des sous ensembles infinis (contenant toujours tous une infinité d'unités) ?

Oui.

Par exemple en divise   {1,1,1,1,1,.........}  par deux donnant deux parties infinies lesquelles sont divisées par deux (ou par ce qu'on veut) et ces parties seraient encore infinies  et divisibles sans fin .

Nous avons un ensemble I infini : I = {1,1,1,1,1,.........} qui est infini.
- I2 = I² -> I2 = {1,1,1,1,1,.........}² -> I3 = {1,1,1,1,1,.........} ³, etc....
- I22 = I2 = (I²)²...etc

Si ce n'est pas possible qu'est-ce qui empêche cela ?

Si on reste dans les math : Aucune raison.

[Jkl38]

dedale@

Dans ta démonstration est-ce que les signes veulent dire ceci :

- = moins ?

-> = sur ?

et ensuite

I22 = I divisé par 2 divisé par 2 ?

Je ne suis pas un familier des maths donc c'est pas évident , je ne vois pas où se trouve le multiplié ou le divisé là dedans

[dedale]

Dans ta démonstration est-ce que les signes veulent dire ceci :

- = moins ?

-> = sur ?

Le premier, c'est juste un tiret, et le second signifie "qui suit" (dans la logique).

I22 = I divisé par 2 divisé par 2 ?

I22 est le carré du carré de I qui est un ensemble infini. Si tu divises par 2, tu as donc simplement I22/2, le résultat étant 2 suites infinies de nombres : x1,x2,x3......
Si tu fais des opération sur des ensembles infinis, peu importe lesquelles, les résultats te donneront des suites infinies de valeurs.

[M'enfin]

Je ne vois pas comment on pourrait diviser une infinité de choses par deux. Comment peut-on déterminer où se trouve la démarcation? Si notre univers est infini, où se trouve le plan qui le sépare en deux? Si un plan est infini, où se trouve la ligne qui le sépare en deux? Si une ligne est infinie, où se trouve le point qui la sépare en deux?

[Jkl38]

Donc dans cet ensemble simple : {1,1,1,1,1,.........}  , il y a une infinité d'ensembles infinis ... (ou infinité de parties infinies)

[Bean]

Je ne vois pas comment on pourrait diviser une infinité de choses par deux.

C'est pourtant simple, l'ensemble des entiers naturels N = [0,1,2,3,4 ... ] se divise en deux ensembles, l'ensemble des nombres pairs P = [0,2,4 ...] et l'ensemble des nombres impairs I = [1,3,5 ... ]
Ces trois ensembles sont infinis malgré que E = P + I, P n'a pas deux fois moins d'éléments que N et I n'a pas deux fois moins d'éléments que N.

Comment peut-on déterminer où se trouve la démarcation? Si notre univers est infini, où se trouve le plan qui le sépare en deux? Si un plan est infini, où se trouve la ligne qui le sépare en deux? Si une ligne est infinie, où se trouve le point qui la sépare en deux?

N'importe quel plan ou surface courbe infini sépare un volume infini en deux demi-volumes infinis, n'importe quelle ligne ou courbe infini sépare un plan infini en deux demi-plans infinis, n'importe quel point sur une droite la sépare en deux demi-droites infinies.
On apprend ça au collège, normalement, il te faudrait réviser ta géométrie euclidienne.

[M'enfin]

Je ne vois pas comment on pourrait diviser une infinité de choses par deux.

C'est pourtant simple, l'ensemble des entiers naturels N = [0,1,2,3,4 ... ] se divise en deux ensembles, l'ensemble des nombres pairs P = [0,2,4 ...] et l'ensemble des nombres impairs I = [1,3,5 ... ]
Ces trois ensembles sont infinis. Malgré que E = P + I, P n'a pas deux fois moins d'éléments que N et I n'a pas deux fois moins d'éléments que N.

Si P et I n'ont pas deux fois moins d'éléments que N, comment peut-on dire qu'ils valent la moitié de N?

Comment peut-on déterminer où se trouve la démarcation? Si notre univers est infini, où se trouve le plan qui le sépare en deux? Si un plan est infini, où se trouve la ligne qui le sépare en deux? Si une ligne est infinie, où se trouve le point qui la sépare en deux?

N'importe quel plan ou surface courbe infini sépare un volume infini en deux demi-volumes infinis, n'importe quelle ligne ou courbe infini sépare un plan infini en deux demi-plans infinis, n'importe quel point sur une droite la sépare en deux demi-droites infinies.

Pas si la droite, le plan, ou le volume ont une origine, et les entiers naturels partent justement de zéro.

On apprend ça au collège, normalement, il te faudrait réviser ta géométrie euclidienne.

Toi, tu devrais réviser ta bienséance: un sourire n'annule pas la contradiction qu'il contient. La preuve:  

[Bean]

Pas si la droite, le plan, ou le volume ont une origine, et les entiers naturels partent justement de zéro.

T'es vraiment une bille en géométrie pour sortir une telle ânerie.

[_nawel]

Toi, tu devrais réviser ta bienséance: un sourire n'annule pas la contradiction qu'il contient. La preuve:  

[Bean]

Toi, tu devrais réviser ta bienséance: un sourire n'annule pas la contradiction qu'il contient. La preuve:  

Bienséance ou pas, une bille reste une bille.

[M'enfin]

Jadis, naguère, il y a infiniment longtemps, j'étais excellent en géométrie, mais je ne posais pas de questions pour ne pas fatiguer les profs. J'ai bien changé, maintenant que je pose des questions, je suis automatiquement devenu poche. Fais attention, je crois que suis contagieux.

[Bean]

Avant tu faisais de grands pas, maintenant, ce ne sont plus que des petits pas, dur dur de vieillir.

[M'enfin]

Tu m'invites pour pouvoir m'accuser de polluer les sujets avec ma thèse? Je descend toujours les marches en courant, donc je suis toujours alerte, mais ma capacité cardiovasculaire a baissé, alors mes pas ont ralenti, mais leur longueur est restée la même. Tiens ça me donne une idée pour expliquer le redshift: et si les atomes vieillissaient eux aussi, leur fréquence ralentirait-elle?

[dedale]

Donc dans cet ensemble simple : {1,1,1,1,1,.........}  , il y a une infinité d'ensembles infinis ... (ou  infinité de parties  infinies)

Oui. Si tu effectues des opérations sur un ensemble infini tu obtiens des ensembles, ou des sous-ensembles, infinis.

[dedale]

Je ne vois pas comment on pourrait diviser une infinité de choses par deux.

Dans notre cas, il ne s'agit pas d'une "infinité de choses", mais d'un ensemble infini d'entiers naturels.
Tu peux diviser cet ensemble en 2 catégories par exemple : les pairs et le impairs, les négatifs et les positifs, les multiples de 'x' et les autres, etc, et le résultat sera toujours en ensemble de nombres infini.

Comment peut-on déterminer où se trouve la démarcation?

La démarcation, si on en cherche une, est déterminée par les catégories  ou  opérations effectuées : par exemple ensemble A des valeurs à traiter, ensemble B des résultats.

Si notre univers est infini, où se trouve le plan qui le sépare en deux?

On ne parle pas de notre univers.

Si un plan est infini, où se trouve la ligne qui le sépare en deux? Si une ligne est infinie, où se trouve le point qui la sépare en deux?

On ne parle pas de géométrie.
Les questions de Jkl38 étaient simples et claires : Pas la peine de venir y foutre le bordel.

[Jkl38]

Je ne pense pas que mon exemple puisse se transposer à N .
Je ne suis pas assez matheux pour le dire mais je ne crois pas qu'en math il y ait une infinité de parties infinies dans N ou  aleph 0 par ex.
C'est pour ça aussi qu'il faudrait un autre raisonnement que celui des maths purs et simples  pour répondre à ce problème .

Je crois que mon exemple {1,1,1,1,1,.........}  est trop simple et trop neutre : ni dans le réel ni dans les maths (surement pour des raisons différentes) il n' y a des suites d'unités sans ordre de cette manière .

Si on sort des maths  en tant que tels  et qu'on fait une sorte de philo des maths , par rapport à N  on ne devrait même pas dire à proprement parler qu'il y autant d'éléments dans P que dans N par ex .

Le mot  "autant" devrait être remplacé par un autre car c'est une sorte de autant/pas autant à la fois , on dit bijection et je pense que ça devrait suffire . Pour moi les notions de quantités et de bijections sont de nature différente . On voit que la notion de  quantité est plus réelle , moins un jeu  que celle de bijection (d'ailleurs il faut au préalable une quantité pour qu'il puisse y avoir correspondance et bijection , donc la notion de bijection est logiquement seconde , dérivée par rapport à celle de quantité ) .

[aleph]

La réponse à ton problème aboutit à une indétermination du premier ordre.
Tu as un ensemble de nombres, et tu pose que son cardinal est infini .

Tu veux diviser cet ensemble une infinité de fois et tu te demandes ce qu'il en reste. Du point de vue mathématique, tu cherches la limite d'une expression de la forme ~ (infini numero1)/(infini numéro2) = forme indéterminée.

Il faut lever l'indetermination

Pour répondre à ta question, il faut maintenant qu'on connaisse la nature des infinis auxquels tu as à faire.
infini1 est le nombre d'éléments de ton ensemble, c'est une cardinal, sa nature est n, avec n tend vers l'infini.
infini1 = n, n->infini
infini2 est le nombre de fois que tu divises ton ensemble par deux, sa nature est de la forme
infini2 = 2ⁿ n->infini.

ta limite est donc : limite = n/(2ⁿ) n->infini


A toi de jouer Mister Bean

[Jkl38]

Aleph ,


Tout ça c'est des équations et ça ne me parle pas ...
Tu parles d'un ensemble absolument indéterminé comme j'ai dit au début ou de N ?
Est-ce que tu as bien une infinité d'infinis dans les deux cas ?

[aleph]

Salut Jkl38

si tu parles d'un ensemble infini simple:
E = {1,1,1 ...},
alors on peut définir une suite numérique qui désigne chacun de ses éléments
u1 =1
u2 =1
….
un =1
….
Le cardinal de E (le nombre de 1) est infini si n tend vers l’infini.
dans cette logique, E est bien équivalent à l’ensemble N, puisque on peut identifier chaque élément de E par un terme de la série un.

Tu parles d'un ensemble absolument indéterminé comme j'ai dit au début ou de N ?

Ce n’est pas l’ensemble qui est indéterminé, mais le résultat. quand tu divises ton ensembles initial par 2 et que tu répètes cette division à l’infini, tu construis de la même façon une série entière:
v1 =2
v2 =2²
….
vn =2ⁿ
…

la division donne n/2ⁿ -> infini/infini = résultat indéterminé.

Est-ce que tu as bien une infinité d'infinis dans les deux cas ?

Non, Tu n’as pas une infinité d’infinis,
tu as un infini simple ~ n pour le nombre des éléments de E
et
un infini plus "fort" pour le nombre de divisions: 2ⁿ

si tu utilises les limites tu trouveras 0

ce qui signifie, si tu divises ton ensemble infini de nombre {1,1,...} par 2 infiniment, tu ne vas rien récupérer.

Pour te faire une idée, supposons que tu as la richesse de Bill Gates 74 Milliards de dollars, et que tu veux la diviser par 2 , 50 fois. combien de dollars y aura-til dans chaque sous ensembles ?
reponse = 74 000 000 000 / 2⁵⁰ = 0.000065 $ (pratiquement nada)

[Jkl38]

D'accord , mon intuition me poussait à cette conclusion .

Mais c'est par exemple en contradiction avec la réponse de dedale du 31 Janvier ...

Remarquons que la fortune de B. Gates n'est pas infinie malgré tout .

[aleph]

D'accord , mon intuition me poussait à cette conclusion .

Mais c'est par exemple en contradiction avec la réponse de dedale du 31 Janvier ...

Remarquons que la fortune de B. Gates n'est pas infinie malgré tout .

Les infinis ne sont pas tous équivalents,  comme tu l'as vu ton  ensemble infini simple est équivalent à un grand nombre ~n
le nombre de fois que tu le divises par  2 produit un autre nombre infini simple de la forme ~ 2 ⁿ

Intuitivement tu avais bien raison, car  n est bien négligeable devant 2 ⁿ aussi grand que soit n.

dedale ne l'a pas vu car il n'a pas pris le problème du bon côté. Le temps qu'il sorte de son labyrinthe , il y verra plus clair.

[Nailsmith]

La constante Pi est un chiffre transcendant. Il y a une infinité de décimale.
En divisant la constante par 2 le résultat nous donne une infinité de décimale. Ainsi de suite.

[aleph]

Tu es HS Nailsmith. Il faut lire le sujet